Программа учебной дисциплины «Алгебра» составлена в соответствии с образовательно-профессиональной программой подготовки бакалавра направления «Математика» и относится к циклу фундаментальных курсов.
Предметом изучения курса «Алгебра» есть основные алгебраические структуры: группы, кольца и поля, теория делимости в кольце целых чисел, конгруэнции с неизвестным, числовые функции.
Междисциплинарные связи: с линейной алгеброй, дискретной математикой, математической логикой, геометрией, криптографией, математическим анализом. Алгебраическими структурами насыщены почти все разделы математики. Методы теории групп и теории чисел широко используются как в теоретической и прикладной математике, так и за ее пределами, в частности, в физике, кристаллографии, в теории защиты информации и криптографии.
Программа учебной дисциплины состоит из следующих содержательных модулей:
1. Основы теории чисел.
2. Конгруэнции в кольце целых чисел.
3. Основы теории групп.
4. Кольца и поля.
Дисциплина «Алгебра» включает в себя, с одной стороны, традиционный древнейший раздел математики – теорию чисел, а с другой стороны – относительно новый и один из наиболее абстрактных ее разделов – общую алгебру. Эти части курса тесно связаны между собой. Абстрактная теория делимости в кольцах является обобщением теории делимости целых чисел. Еще одним важным и фундаментальным понятием дисциплины «Алгебра» является понятие группы. В течение изучения курса систематически рассматриваются различные примеры групп: матричные группы, группы подстановок, группы линейных операторов, группы симметрии на группы движений геометрических фигур, числовые группы.
Целью преподавания учебной дисциплины «Алгебра» является ознакомление студентов с основными понятиями и методами современной алгебры, объекты которой – так называемые алгебраические структуры – все шире проникают во все разделы современной математики, а также находят свое прикладное применение.
Основной задачей изучения дисциплины «Алгебра» является формирование у студентов базовых понятий алгебры и теории чисел, развитие абстрактного мышления и математической культуры, вооружение аппаратом теории делимости и методами современной общей алгебры, необходимыми для дальнейшего успешного изучения других математических дисциплин и для их прикладного применения.
После освоения дисциплины студенты должны знать:
1. Понятие делителей и кратных целого числа.
2. Свойства простых и составных чисел, взаимно простых чисел, основную теорему арифметики.
3. Формулы для вычисления значений функции Эйлера, количества и суммы натуральных делителей числа.
4. Свойства конгруэнций, теоремы Эйлера и Ферма.
5. Понятие и свойства основных алгебраических структур: группы, кольца, поля. Понятие подгруппы, подкольца, подполя, фактор-группы и фактор-кольца.
6. Понятие порядка элемента в группе и циклической подгруппы.
7. Теорему Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы.
8. Понятие изоморфизма и гомоморфизма алгебраических структур, основную теорему о гомоморфизм групп и колец.
9. Понятие алгебраического и трансцендентного элемента поля.
10. Строение простого алгебраического расширения поля.
После овладения дисциплины студенты должны уметь:
- дослеживать целое число на делимость;
- устанавливать, является ли целое число простым, представлять натуральные числа в каноническом разложении на простые множители;
- вычислить целую и дробную часть числа;
- решать линейные конгруэнции по любым модулям;
- применять теорию конгруэнций в кольце целых чисел к решению различных задач;
- распознавать основные типы алгебраических структур, исследовать их на изоморфность, строить гомоморфизмы групп и колец;
- вычислять порядок элемента в конечных группах.
Если Вы изучаете курс «Алгебра» и Вам необходимо купить бакалаврскую работу или эссе обращайтесь в компанию ИЦ «KURSOVIKS».
С уважением ИЦ "KURSOVIKS"!
