Лекція №14 - Фізичні задачі, що зводяться до рівняння Лапласа

1. Стаціонарне теплове поле. Постановка крайових задач

2. Потенціальне поле рідини

3. Потенціал стаціонарного струму та електричного поля

До рівнянь еліптичного типу приводить вивчення стаціонарних, тобто незмінних в часі процесів різної фізичної природи. Сюди відносять стаціонарні електричні та магнітні поля (електростатика, магнітостатика, поля сталого електричного струму), потенціальний рух нестисливої рідини, стаціонарні теплові поля тощо.

Рівняння Пуассона ∆u = f, де функція f залежить від просторових змінних, описує значну кількість різних явищ.

∆u = — ρ описує потенціал електростатичного поля, якщо ρ — густина статичних зарядів.

∆u = — g (х, у) описує стаціонарний розподіл температури від те-плового джерела g (х, у). Якщо g (х, у) додатна в точці, то тепло виділяється, якщо від’ємна — поглинається.

∆u + λu = 0 — рівняння Гельмгольца (зведене хвильове рівняння), яке описує зокрема просторову частину власних коливань мембрани. Воно виникає при розділенні просторових та часової змінних у хвильовому рівнянні та рівнянні теплопровідності.