Курсова робота Симетрійний аналіз рівняння Бюргерса та його узагальнень

Вступ

Розділ 1. Рівняння Бюргерса і його алгебра інваріантності

1.1. Симетрія рівняння

1.2. Алгебра інваріантності та її підалгебри

Розділ 2. Редукція і розв'язки рівняння Бюргерса

2.1. Симетрійна редукція

2.2. Точні розв'язки

Висновки

Література

Як відомо, коло питань математичної фізики тісно пов'язане з вивченням різних фізичних процесів. Сюди відносять явища, що вивчають у гідродинаміці, теорії пружності, електродинаміці, фізиці елементарних частинок і т.д.

Математичні задачі, що виникають при цьому, часто зводяться до розв'язування диференціальних рівнянь різних типів, в тому числі диференціальних рівнянь з частинними похідними другого і вище порядків.

Диференціальні рівняння, що описують фізичні процеси, як правило, мають широку симетрію. Наявність симетрії може бути одним з критеріїв вибору серед деякої множини рівнянь оптимальної математичної моделі, що максимально точно описує досліджуваний процес.

Великі можливості класифікації та побудови точних розв'язків рівнянь математичної фізики відкривають започатковані ще у XIX столітті Софусом Лі методи теоретико-групової редукції, коли розв’язок досліджуваного диференціального рівняння шукається у вигляді підстановки спеціальної форми (анзацу), яка зводить (редукує) дане рівняння до диференціального рівняння меншої розмірності. Класичні методи Лі, доповнені результатами теорії представлень груп і алгебр Лі, знаходять все ширше застосування в теоретичній та математичній фізиці.

Метою роботи є:

- ознайомлення з методом Лі теоретико-групового аналізу диференціальних рівнянь;

- дослідження алгебри симетрії тривимірного рівняння Бюргерса;

- проведення симетрійної редукції;

- знаходження деяких точних розв'язків цього рівняння.

Для дослідження рівняння Бюргерса використовувались теоретико-алгебраїчні методи симетрійного аналізу та методи теорії диференціальних рівнянь.

Робота складається із вступу, двох розділів, висновків та списку літератури.

І розділ містить систематизований теоретичний матеріал, який далі використано для відшукання алгебри інваріантності тривимірного рівняння Бюргерса. З точністю до спряженості відносно групи внутрішніх автоморфізмів виділено класи підалгебр розмірностей 1,2 і 3 цієї алгебри.

II розділ присвячений симетрійному аналізу тривимірного рівняння Бюргерса. Спочатку проводиться симетрійна редукція для виділених підалгебр, а потім знаходяться деякі класи інваріантних точних розв'язків рівняння Бюргерса.

Основні результати виконаної роботи:

1. Досліджена симетрія двовимірного рівняння Бюргерса.

2. Проведена класифікація підалгебр розмірності 1 і 2 у відповідності до групи внутрішніх автоморфізмів алгебри інваріантності.

3. Для отриманих підалгебр знайдено повні системи інваріантів та побудовані відповідні анзаци.

4. Проведено симетрійну редукцію рівняння.

5. Знайдено розв'язки деяких типів редукованих рівнянь, за допомогою яких одержано відповідні інваріантні точні розв'язки рівняння Бюргерса.

На основі одержаних результатів можна зробити наступні висновки:

1. Усі симетрії диференціального рівняння утворюють групу Лі.

2. Рівняння Бюргерса в двовимірному просторі є інваріантним відносно 5-вимірної групи локальних перетворень.

3. Для побудови анзаців доцільно провести класифікацію підалгебр алгебри інваріантності відносно групи автоморфізмів.

4. Використання симетрійної редукції призводить до рівнянь меншої розмірності, і навіть до звичайних диференціальних рівнянь.

5. Груповий аналіз є ефективним методом побудови інваріантних точних розв’язків диференціальних рівнянь.

Одержані результати роботи можуть бути використані для симетрійного аналізу рівнянь математичної та теоретичної фізики, а також для розв’язування конкретних задач, які описуються диференціальними рівняннями еволюційного типу.

1. Баранник А., Москаленко Ю., Юрик І. Про нові точні розв'язки нелінійного рівняння Даламбера у псевдо-евклідовому просторі R2,2. // Групові та аналітичні методи в математичній фізиці. – К., 2001. – (Ін-т математики НАН України; с. 32-40).

2. Баранник А. Ф., Фущич В. И. О непрерывных подгруппах псевдоортогональных и псевдоунитарных групп. – К., 1986. – 48 с. – (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 86-77).

3. Баранник Л. Ф. О симметрийной редукции и точных решениях уравнения Лиувилля // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1989. – № 12. – С. 3-5.

4. Баранник Л. Ф. Подалгебры обобщенной расширенной алгебры Галилея // Укр. мат. журн. – 1988. – 40, № 6. – С. 705-709.

5. Баранник Л. Ф., Лагно В. И., Фугцич В. И. Подалгебры обобщенной алгебры Пуанкаре АР (2, п). – К., 1985. – 50 с. – (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 85-89).

6. Баранник Л. Ф., Фугцич В. И. Подалгебры алгебры Ли расширенной группы Пуанкаре (1, п). – К., 1985. – 50 с. – (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 85-90).

7. Баранник Л. Ф., Фущич В. И. О непрерывных подгруппах конформной группы пространства Минковского R1,n – К., 1988. – 48 с. – (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 85.19).

8. Гурса Е. Інтегрування рівнянь з частинними похідними першого порядку. – К.: Вища школа, 1941. – 416 с.

9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М: Наука, 1971. - 576 с.

10. Лагно В. І., Спічак С. В., Стогній В. І. Симетрійний аналіз рівнянь еволюційного типу. – К.: Ін-т математики НАН України, 2002. – 360 с.

11. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высшая школа, 1967. – 564 с.

12. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 400 с.

13. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. – М.: Мир, 1989. – 639 с.

14. Фущич В. И., Баранник А. Ф., Баранник Л. Ф. Непрерывные подгруппы обобщенной группы Галилея. I. – К., 1985. – 46 с. (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 88.34).

15. Фущич В. И., Баранник Л. Ф., Баранник А. Ф. Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. – К.: Наукова думка, 1991. – 304 с.

16. Фущич В. И., Штеленъ В. М. О редукции и точных решениях нелинейного уравнения Дирака // Теорет. и мат. физика. – 1987. – 72, № 1. – с. 35-44.

17. Черніга Р. М. Точні розв'язки багатовимірного рівняння Шредінгера з критичною нелінійністю. // Групові та аналітичні методи в математичній фізиці. – К., 2001. – (Ін-т математики НАН України; с. 304-316).

18. Lahno V. On Poincare – invariant reduction and exact solutions of the Yang – Mills equations. // J. Nonlin. Math. Phys. – 1995. – 3, №3-4. – P. 291-296.

19. Patera J., Sharp R. Т., Winternitz P., Zassenhaus H. Continuous subgroups of the fundamental groups of physics. Ill, The de Sitter groups. // J. Math. Phys. – 1977. – 18, № 12. – P. 2259-2288.

20. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H. Continuous subgroups of the fundamental groups of physics. I. General method and the Poincare group. // J. Math. Phys. – 1975. – 16, № 8. – P. 1597-1624.

21. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H. Continuous subgroups of the fundamental groups of physics. II. The similitude group. // J. Math. Phys. – 1977. – 18, № 12. – P. 1615-1624.