Курсова робота Лінійно крайової задачі

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ

1.1. Крайова задача

1.2. Лінійне крайове доручення

РОЗДІЛ 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

2.1. Виконання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші

2.2. Метод прицілювання

2.3. Метод колокацій

2.4. Метод Гальоркіна

2.5. Метод невеликих квадратів

2.6. Метод скінченних елементів

РОЗДІЛ 3. ЗБІЖНІСТЬ РІЗНИЦЕВОЇ СХЕМИ

3.1. Постановка задачі

3.2. Різницева схема

3.3. Нев’язка різницевої схеми

3.4. Апроксимація різницевої схеми

3.5. Стійкість різницевої схеми

РОЗДІЛ 4. ІТЕРАЦІЙНИЙ МЕТОД РОЗВ'ЯЗКУ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ

4.1. Ітераційна наближеність до знайдених початкових умов (підбір з якої-небудь Стратегії)

4.2. Кінцево-різницеве конвертування диференціального рівняння в систему алгебраїчних

ВИСНОВКИ

ЛІТЕРАТУРА

На сьогоднішній день існує чимало числових методів виконання крайових задач для простих диференціальних рівнянь. Але всі вони поділяються на дві категорії: наближені спосіб числових рішень і наближені аналітичні рішення.

Крайова задача для звичайних диференціальних рівнянь є набагато складнішою, ніж задача Коші. Одним із підходів до розв’язання цієї задачі є зведення її до задачі Коші зі змінними початковими умовами. Розв’язок задачі отримують багаторазовим розв’язанням задачі Коші.

У загальному випадку для розв’язання доточкової крайової задачі (одно- чи багатовимірної, лінійної чи нелінійної) доцільно застосовувати метод прицілювання, а для розв’язання окремих лінійних одновимірних задач метод композиції двох розв’язків задачі Коші з різними початковими умовами.

Ефективним методом розв’язання лінійної крайової задачі для диференціального рівняння другого порядку є метод скінченних різниць, у якому використовуються різницеві схеми апроксимації для похідних першого і другого порядків. У результаті крайова задача перетворюється на задачу розв’язання системи лінійних рівнянь із три діагональною матрицею. Цю систему можна розв’язати методом прогону.

Метод скінченних різниць дозволяє також обчислювати власні значення і власні функції крайової задачі, які визначають нетривіальні розв’язки однорідної крайової задачі.

Метод скінченних різниць можна застосовувати і для розв’язання нелінійних крайових задач, але в цьому випадку необхідно лінеаризовувати нелінійні функції, що входять в умову задачі. Розв’язок крайової задачі у вигляді апроксимуючого аналітичного виразу отримують методами колокацій, Гальоркіна і найменших квадратів введенням базисних функцій, які враховують граничні умови. Коефіцієнти для базисних функцій та їх композиції, які апроксимують розв’язок крайової задачі, у методі колокацій вибирають з умови нульової нев’язки в обраних вузлах інтервалу розв’язку, у методі найменших квадратів з умови мінімуму квадрату нев’язки, а в методі Гальоркіна з умови ортогональності нев’язки до обраних базисних функцій.

У сучасних математичних пакетах розв’язання крайових задач для рівнянь з частинними похідними конкуренцію розглянутим методам складає метод скінчених елементів, що базується на концепціях метода Гальоркіна за умови спеціального вибору базисних функцій.

1. Фельдман Л. П., Петренко А. І. Дмитрієва О. А. Чисельні методи в інформатиці: Підручник / За ред. М.З. Згуровського. – К.: Вид. група BHV, 2006. – 480 с.

2. Мак – Кракен Д., Дрон У. Численные методы и програмирование на фортране / Д. Мак – Кракен, У. Дрон. – М.: Мир, 1977. – 584 с.

3. Бахвалов Н. С. Численные методы. Т. И. Анализ, алгебра, обычные диференциальные уравнения / Н. С. Бахвалов. – М.: Наука, 1975. – 631 с.

4. Ляшенко М. Я., Головань М. С. Чисельні методи: Підручник / М. Я. Ляшенко, М. С. Головань. Либідь. 1996. – 288 с.

5. Численные методы / Н. И. Данилина, Н. С. Дубровская, О. П. Кваша и др. – М.: Высшая шк., 1976. – 368 с.

6. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Т. Численные методы решения жестких систем / Ю. В. Ракитский, С. М. Устинов, И. Т. Черноруцкий. – М.: Наука, 1979. – 587 c.

7. Плис А. И., Сливина Н. А. Mathcad. Математический практикум для инженеров и экономистов / А. И. Плис, Н. А. Сливина: – М.: Финансы и статистика, 2003. – 656 с.

8. Д. Мэтьюз, Г. Цинк, Д. Куртис. Численне методы. Использование Matlab / Д. Мэтьюз, Г. Цинк, Д. Куртис. – М. Издательский дом “Вильямс”, 2001. – 720 с.

9. Иванов В. В. Методы вычислений на ЕОМ / В. В. Иванов. – Киев: Наук. думка, 1986. – 584 с.

10. Маликов В. Т., Кветний Р. Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ / В. Т. Маликов, Р. Н. Кветний. – К.: Высшая школа., 1989. – 213 с.

11. Квєтний Р. Н. Методи комп’ютерних обчислень: Навчальний посібник. / Р. Н. Квєтний / МО І науки України. – Вінниця: ВДТУ, 2001. – 148 с.

12. Ортега Дж., Пуп У. Введение в численные методе решения диференциальных уравнений / дж. Ортега, У. Пули. – М.:Наука,1986. – 288 с.

13. Молчанов И. М. Машинные методы решения прикладных задач, диф. Уравнений / И. М. Молчанов. – Киев: Наук. Думка, 1988. – 344 с.

14. Прикладные методы и программирование в численном анализе. – М.: Изд-во Моск. ун – ту, 1985. – 185 с.