Курсова робота Ознаки збіжності знакододатних рядів

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ РЯДІВ

1.1 Поняття ряду та його суми

1.2. Залишок ряду та властивості збіжних числових рядів

РОЗДІЛ 2. ОСНОВНІ ОЗНАКИ ЗБІЖНОСТІ ДОДАТНИХ ЧИСЛОВИХ РЯДІВ

2.1 Ознаки порівняння

2.2 Ознака Д’Аламбера

2.3. Ознака Коші

2.4 Інтегральна ознака Коші

2.5.Приклади

РОЗДІЛ 3. ДОДАТКОВІ ОЗНАКИ ЗБІЖНОСТІ ДОДАТНІХ ЧИСЛОВИХ РЯДІВ

3.1. Логарифмічна ознака збіжності числових рядів

3.2. Ознака Єрмакова

3.3. Ознака Куммера

3.4. Ознака Раабе

3.5. Ознака Бертрана

3.6. Ознака Гаусса

3.7. Приклади

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

Математичний аналіз — фундаментальний розділ математики, що веде свій відлік від XVII століття, коли було строго сформульовано теорію нескінченно малих. Сучасний математичний аналіз включає в себе також теорію функцій, теорії границь і рядів, диференційне та інтегральне числення, диференціальні рівняння та диференціальну геометрію. Дана курсова робота присвячена вивченню теорії рядів, а саме знакододатних рядів та їх ознак збіжності.

Цими питаннями займалися багато вчених, найвідоміші ознаки збіжності мають ім'я таких вчених, як Жана Лерона Д’Aламбера та Огюстена Луі Коші. Але це не єдині ознаки збіжності, які існують, є ще багато вчених, які сформулювали та довели теореми про збіжність рядів, зокрема, Йоганн Карл Фрідріх Гаусс, Йозеф Людвиг Раабе, Эрнст Эдуард Куммер, Артур Уільям Рассел Бертран та інші.

Ряди досить широко використовуються в математиці, особливо при дослідженні різноманітних технічних проблем, пов’язаних з наближеним інтегруванням диференціальних рівнянь, обчисленням значень функцій та інтегралів, розв’язуванням трансцендентних та алгебраїчних рівнянь, саме тому вивчення рядів та їх ознак збіжності є досить актуальною темою.

Мета курсової роботи – закріпити поняття числового ряду та достатніх ознак збіжності знакододатних числових рядів, а також дослідити додаткові ознаки збіжності.

Об’єктом дослідження цієї курсової роботи є ознаки збіжності знакододатних числових рядів.

Завдання:

1. Розглянути поняття числового ряду та його суми.

2. Ознайомитися з властивостями числових рядів.

3. Сформулювати та довести достатні ознаки збіжності знакододатних числових рядів – ознаки порівняння, ознаку Д’Aламбера, Коші та інтегральну ознаку Коші.

4. Сформулювати та довести додаткові ознаки збіжності знакододатних числових рядів – логарифмічну ознаку, ознаку Куммера, Раабе, Гаусса, Єрмакова, Бертрана.

5. Навести приклади застосувань вище перелічених ознак до дослідження числових рядів на збіжність або розбіжність.

Курсова робота складається із вступу, 3-х розділів, висновків та списку використаних джерел. Обсяг роботи – 40 сторінок.

Важливе місце в курсі математичного аналізу посідають числові ряди (знакододатні та знакозмінні) та зокрема їх дослідження на збіжність. Вивчення рядів є досить важливим тому, що ряди досить широко використовуються в математиці, особливо при дослідженні різноманітних технічних проблем, пов’язаних з наближеним інтегруванням диференціальних рівнянь, обчисленням значень функцій та інтегралів, розв’язуванням трансцендентних та алгебраїчних рівнянь.

В курсовій роботі дається поняття ряду та його суми, наведено властивості числових рядів, розглянуто ознаки збіжності знакододатних числових рядів, а саме: ознаки порівняння, ознака Д’Аламбера, ознака Коші, інтегральна ознака Коші, логарифмічна ознака, ознаки Куммера, Гаусса, Бертрана, Єрмакова та Раабе. Також наведено приклади дослідження рядів на збіжність з використанням кожної з перелічених вище ознак. Саме тому вважаю, що завдання, які були поставлені перед собою, виконано і мети написання курсової роботи досягнуто.

Можна зробити висновок, що вивчення поняття рядів та ознак їх збіжності є дуже важливим в сучасних умовах розвитку математичних наук, чому, певною мірою, сприятиме дана курсова робота, тому що в ній подається стислий і структурований матеріал, який стосується цих понять.

1. Вища математика: підруч. для студ. вищ. пед. навч. закл.: у 2 кн. – К.: Либідь, 2010. Кн. 2 / М. І. Шкіль, Т. В. Колесник. – 496 с.

2. Давидов М. О. Курс математичного аналізу: Підручник: У 3 ч. Ч. 1. Функції від однієї змінної. – 2-ге вид., перероб. і допов. – К.: Вища шк., 1990. – 383 с.: іл.

3. Дороговцев А.Я. Математичний аналіз: Підручник: У двох частинах. Частина 1. – К.:Либідь, 1993. – 320 с.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. ( В 3-х томах ).Том 2. — М.; т.2 — 2004, 720 с.

5. Ляшко С.И. и др. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Часть 1.: М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. – 432 с.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и инетгрального исчесления. В 3 т. Т. ІІ / Пред. и прим. А.А. Флоринского. – 8-е изд. – М.: ФИЗМАЛИТ, 2003. – 864 с.

7. Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одной переменной). Части 1-2, 1970 г. — 528 с.

8. Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник: У 2 ч. Ч. 2.- 3-тє вид., переробл. і допов. – К.: Вища шк., 2005. – 510 с.: іл.