Лекция Динамическая модель машины с жесткими звеньями

« Назад

Если все приложенные к звеньям силы известны, то можно определить закон движения какого-либо звена и механизма. Однако практическое решение этой задачи оказывается весьма сложным. Поэтому, как правило, прибегают к отдельным частным решениям, применяя способы приближенного определения движения механизма. Для этого сложный многозвенный механизм заменяют его динамической моделью. Если механизм имеет только одну степень свободы, то в качестве модели механизма принимают одно условное звено. Так, для системы двигатель внутреннего сгорания (ДВС) – рабочая машина выбирают в качестве начального звена коленчатый вал ДВС. Закон движения условного звена должен полностью совпадать с законом движения начального звена. При этом угловые скорости начального и условного звеньев должны быть равны.

При построении модели механизма все силы и моменты, действующие на его звенья, должны быть приведены к одному звену, называемому приведенным, и заменены приведенной силой или приведенным моментом.

Таким же образом массы всех звеньев приводят к одному звену и заменяют суммарным приведенным моментом инерции, который эквивалентен всей инерции механизма. В итоге заданный многозвенный механизм, нагруженный сложной системой сил и моментов, заменяют простой моделью, состоящей одного приведенного звена.

Как следует из уравнения Лагранжа II рода, при приведении сил должно соблюдаться равенство элементарных работ, а при приведении масс – равенство кинетических энергий.

Приведение сил и моментов сил. Если плоский механизм состоит из п звеньев и на каждое из них действуют силы и моменты сил, то всех их можно привести к одному звену, которое называется звеном приведения. При этом должно соблюдаться условие, чтобы мощность (или работа), развиваемая на элементарном перемещении приведенной силой или приведенным моментом силы, было равна сумме мощностей (или работ) всех сил и моментов, приложенных к п звеньям. При этом предполагают, что план скоростей для механизма построен. На рис. 5.5, а приведена схема механизма и звено приведения 1.

Сформулированное условие для мощности в общем виде имеет вид (i = 1, 2, 3, ... – номер звена механизма)

. (5.8)

При приведении к силе имеем

 (5.9)

где  – скорость точки приложения приведенной силы; Fi – сила, действующая на i-е звено;  – скорость точки i-го звена, в котором действует сила Fi, αi – угол между векторами силы и скорости i-го звена; Mi – момент силы, действующий на i-е звено;  – угловая скорость i-го звена. Тогда

 (5.10)

Аналогично определяем приведенный момент силы звена приведения

.

Принимая во внимание уравнение (5.9), имеем

 (5.11)

Значение приведенной силы можно определить с помощью теоремы Н. Е. Жуковского. При этом вектор полученной уравновешивающей силы надо повернуть на 180˚.

Кинетическая энергия механизма. Кинетическая энергия механизма, состоящего из п звеньев, определяется из соотношения

, (5.12)

где  - кинетическая энергия i-го звена при его поступательном движении со скоростью  - кинетическая энергия i-гo звена при его вращательном движении; тi – масса i-го звена, сосредоточенная в центре масс; Ji – момент инерции i-го звена относительно оси, проходящей через центр масс.

Приведение масс и моментов инерции. Каждое i-e звено механизма обладаем массой тi, сосредоточенной в центре масс звена, и моментом инерции Ji, относительно оси, проходящей через центр масс. Эти массы и моменты инерции можно заменить приведенной массой тП, сосредоточенной в точке В звена приведения 1 (рис. 5.5, б), или приведенным моментом инерции JП звена приведения 1 (рис. 5.5, в).

Приведение масс и моментов инерции производится из условия равенства кинетических энергий.

Кинетическая энергия приведенной массы, сосредоточенной в точке В звена приведения 1, равна -

Рис. 5.5 - Схемы проведения сил, моментов, масс и моментов инерции механизма

, должна равняться сумме кинетических энергий всех звеньев, т. е. .

Отсюда найдем  (5.13)

Полученная формула позволяет вычислить приведенную массу звена приведения 1, совершающего поступательное или вращательное движение.

Переменная приведенная масса является условной величиной, которой пользуются для упрощения динамических расчетов. Поэтому звено приведения нельзя рассматривать в качестве твердого тела с действительно изменяющейся массой. Если звено приведения совершает вращательное движение, то все массы и моменты инерции звеньев заменяют приведенным моментом инерции, приписываемым звену приведения.

Кинетическая энергия звена приведения с моментом инерции JП должна равняться сумме кинетических энергий звеньев механизма, т. е.

откуда находим  (5.14)

В формулах (5.13) и (5.14) отношения скоростей не зависят от действительных скоростей механизма, но зависят от положения механизма и положения его звеньев, включая и звено приведения. Следовательно, приведенная масса и приведенный момент инерции являются функциями только положения звена приведения. Если звено приведения совершает поступательное движение, то mП = f(s), а если вращательное, то . Для большого класса механизмов mП и JП являются постоянными величинами (зубчатые механизмы с круглыми колесами, турбины, компрессоры и др.). Когда передаточное отношение в механизме не меняется (зубчатые и другие механизмы), приведенный момент инерции остается постоянным, а его значение всегда положительно. Так как отношения скоростей отдельных точек механизма зависят только от его положения, то приведенный момент инерции не зависит от скорости движения механизма.

Уравнения движения динамической модели

Кинетические параметры механизма при заданных массах звеньев и силах можно определить из уравнения Лагранжа II рода, изучая движение звена приведения. С учетом сил сопротивления движению приведенный момент сил будет МП = (МП)Д – (МП)С, где (МП)Д – приведенный момент движущих сил; (Мп)С – приведенный момент сил сопротивления.

При этом уравнение движения

 или

 (5.15)

С учетом зависимости  это уравнение дифференцируют как функцию двух независимых переменных  и :

, где

.

Отсюда дифференциальное уравнение движения для вращающегося звена приведения механизма принимает вид

. (5.16)

По аналогии дифференциальное уравнение поступательно движущегося звена будет

, (5.17)

FП – приведенная сила от движущихся сил и сил сопротивления; S и  – перемещение и скорость звена приведения; mП – приведенная масса.

В том случае, когда , например при движении машинного агрегата с электродвигателем, движение описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка

 (5.18)

При решении уравнения (5.18) коэффициенты задаются таблицами или графиками, а решение, как правило, проводится с помощью графических методов.

В том случае, когда JП = const, что имеет место в механизмах с постоянными передаточными отношениями, уравнения (5.16) и (5.17) принимают вид:  (5.20).

Если (МП)Д, (МП)С и JП являются лишь функциями положения звеньев механизма, то уравнение движения в энергетической форме примет вид , (5.21), где  – избыточная работа при перемещении звена приведения из i-го в п-е положение.

Для вращательного движения звена приведения уравнение (5.21) принимает вид

 (5.22)

где (JП)п и (JП)i – приведенный момент инерции механизма в положениях п и i звена приведения;  – соответствующие угловые скорости;  – приведенные моменты сил движущих и сопротивления, зависящие от положения механизма.

Для поступательного движения

Рис. 5.6 - Схемы к определению избыточной работы в механизме

а – механизм; б – индикаторная диаграмма; в – диаграммы сил и работ

 (5.23)

где (mП)п и (mП)i – приведенная масса механизма в двух положениях звена приведения; [FП(S)]Д и [FП(S)]С – приведенные силы движущие и сопротивления; S – перемещение звена приведения.

Пример 5.4. Определим работы движущих сил, сил сопротивлений и избыточную работу для двухтактного двигателя, предполагая, что действуют только газовые силы на поршень, закон изменения которых известен.

На рис. 5.6, а приведена кинематическая схема кривошипно-шатунного механизма, а на рис. 5.6, б индикаторная диаграмма (закон изменения газовых сил, действующих на поршень). По индикаторной диаграмме определяем движение силы  за цикл (один оборот кривошипа).

Приводим силы  к пальцу кривошипа по формуле . Строим график движущих сил  по перемещению пальца кривошипа (рис. 5.6, в).

Предполагая установившееся движение, считаем, что работа движущих сил равна работе сил сопротивления АД = АС. Силы сопротивления изменяются по сложному закону, и действительную диаграмму их определить по существу невозможно. Предположим в данном случае, что силы сопротивления за цикл работы постоянны, тогда 

Кривую  условно строим в положительной части диаграммы. Проводя графическое интегрирование, определяем графики изменения работ АД, АС – и избыточную работу .

Для вращательного движения звена приведения из уравнения движения (5.21) имеем

,

откуда мгновенная угловая скорость звена приведения

. (5.24)

Используя ту же формулу для поступательного движения звена приведения, получим соотношение для мгновенной скорости звена приведения

. (5.25)

Эту же задачу можно решить с помощью графоаналитического метода Виттенбауэра. Этот метод применим при силах, зависящих от положения звеньев.

На рис. 5.7 показано построение графика Т = f(Jп) для вышерассмотренного примера. Здесь принимаем

.

По диаграмме Т = f(Jп) можно определить мгновенную скорость движения кривошипа. Так, если для i-й точки  или

откуда . (5.26)

Рис. 5.7 - Схема построения диаграммы Виттенбауэра

Обеспечение заданного движения исполнительных звеньев

Периодическая неравномерность хода машины является следствием изменяющихся в течение цикла мгновенных значений приведенных моментов движущихся сил и сил сопротивления, а также периодического изменения приведенного момента инерции механизма.

На рис. 5.8 показан график изменения ω по времени.

Степень неравномерности хода машины за цикл установившегося движения определяется средним коэффициентом неравномерности хода

. (5.28)

Рис. 5.8 - Кривая изменения угловой скорости во времени

Допустимая наибольшая величина коэффициента неравномерности хода зависит от типа машин. Например, для поршневых двигателей внутреннего сгорания  = 1/80...1/200, для поршневых насосов  = 1/20...1/30 и т. д.

Рис. 5.9 - Диаграмма Т = f(Jп)

Регулирование периодических колебаний скорости машин. Задачу регулирования периодической неравномерности хода машины решают посредством установки дополнительной массы.

По диаграмме (рис. 5.9) Т = f(Jп) определяют , используя формулу (5.26):

. (5.30)

Коэффициент неравномерности хода

 или . (5.31)

Устанавливают связь между . Из (5.27) и (5.28) имеем . Совместно решая эти два равенства, получим

 или  (5.32)

 (5.33)

Рис. 5.10 - Схема к расчету маховой массы

Из (5.29) и (5.30) получаем .

Представляя из (5.32) и (5.33) значения  в полученные значения  имеем . (5.34)

Используя эти формулы, проводим к кривой Т = f(Jп) две новые предельные касательные под полученными углами  к оси Jп (рис. 29.8) и продолжаем их до взаимного пересечения (в точке Ом). Новая система координат будет отличаться от старой тем, что в машине увеличивается кинетическая энергия на . При этом увеличивается и приведенный момент инерции на . Новая система координат с началом в точке Ом обеспечивает заданные значения .

Рис. 5.4 - Кривые изменения крутящего момента и угловой скорости во времени

Если точка Ом выходит за пределы чертежа, то находим отрезок kl, отсекаемый касательными на пересечении с прежней осью ординат, и из геометрических соотношений определяем

. (5.35)

Так как , то  и с учетом значений (5.33) и (5.34) имеем . (5.36)

При углах , близких к 90°, касательные могут не пересечься с осью ординат в пределах чертежа. Тогда значения kl находят по формуле (5.35).

Добавочная масса вращающего звена, предназначенная для обеспечения заданного коэффициента неравномерности движения механизма, называется маховой массой (маховиком).

Маховик накапливает кинетическую энергию на тех участках цикла, которые имеют приведенный момент движущих сил больший, чем приведенный момент сил сопротивлений. На участках же с обратным соотношением этих моментов скорость снижается и маховик отдает накопленную кинетическую энергию, выполняя роль механического аккумулятора энергии.

Расчет маховой массы можно произвести по заданной кривой крутящего момента (рис. 5.4). Тогда формула (5.36) принимает вид , где  – избыточная работа в интервале, соответствующем изменению кинетической энергии от минимума до максимума.