Лабораторна робота №4, Визначення часових параметрів проекту та його робіт за умови стохастичних тривалостей робіт (метод PERT)

« Назад

Мета роботи

Вивчити основні параметри мережі PERT та реалізації їх розрахунку в програмних пакетах.

Короткі теоретичні відомості

Метод PERT

Метод PERT орієнтований на врахування невизначеностей у тривалостях виконання робіт мережі, які описуються стохастичними характеристиками.

Кожна робота проекту характеризується трьома оцінками її тривалості, які отримуються зазвичай шляхом опитування експертів:

- найбільш ймовірною тривалістю виконання m;

- найменшою тривалістю виконання — оптимістична тривалість a;

- найбільша очікувана тривалість b — песимістична оцінка.

Найімовірніший час виконання роботи — це оцінка часу її виконання за нормальних умов. Оптимістична та песимістична оцінки визначають розмах коливань тривалості під дією стохастичних факторів. Песимістична оцінка не враховує незвичні тривалі затримки чи катастрофи, а тому фактична тривалість виконання роботи може знаходитися й за межами визначеного інтервалу тривалостей.

Для описання розподілу ймовірності виконання роботи залежно від часу використовується β-розподіл. Нам необхідно, використовуючи цю інформацію, отримати такі параметри закону, як математичне сподівання та дисперсію як функції від значень a, b, m. Для цього використаємо деякі еврістичні прийоми. Форма β-розподілу в загальному випадку відображена нижче.

Припустимо, що “вага” середньої тривалості (медіани розподілу med), med = (a + b)/2 в два рази менша, ніж “вага” найбільш ймовірної тривалості m (моди розподілу). За цього припущення значення математичного сподівання буде середнім арифметичним між med та зваженим значенням m, а саме t = (med + 2m)/3 = (a + b + 4m)/6. Розмах (a, b) приймемо рівним ≈ 6σ (за цієї умови для β-розподілу біля 90% площі під функцією густини розподілу буде знаходитися в межах розмаху). Виходячи з цього σ = (b – a)/6, тобто дисперсія D = (b – a)²/36.

Припустимо також, що всі операції проекту статистично незалежні. Якщо подія  зв’язана з подією 0 (початковою) одним шляхом, то M[t_i] — матсподівання часу звершення події, буде рівним сумі матсподівань операцій, що знаходяться на цьому шляху, а дисперсія D[t_i] — відповідно сумі дисперсій. Якщо ж існує більш, ніж один шлях, то вважатимемо, що досить отримати статистичний розподіл тривалості лише цього шляху, і за ним розрахувати M[t_i] та D[t_i].

Однак і за цього спрощуючого припущення задача все одно залишається достатньо складною в загальному випадку, а тому більше того, вважатимемо, що з достатнім ступенем точності ці характеристики отримаємо для шляху, сума очікуваної тривалості операцій для якого найбільша. При рівності цих значень для декількох шляхів обиратимемо той, значення дисперсії для якого максимальне, як такий, що даватиме більш надійний результат.

Оскільки M[t_i] є сумою декількох незалежних випадкових величин, то згідно до центральної граничної теореми теорії ймовірностей цей розподіл зі зростанням числа складових в сумі та приблизної рівноцінності їх випадкових дій асимптотично наближатиметься до нормального.

Таким чином з достатнім ступенем впевненості вважатимемо, що ймовірність звершення події  з раннім строком звершення t_i в директивний строк d_i становитиме:

,

де  — випадкова величина, розподілена за нормальним законом з середнім 0 та дисперсією 1 (нормована нормальна величина, значення інтегральної функції для якої знаходимо з таблиць).