Лабораторна робота №5, Теорія універсальності Фейгенбаума, Біфуркаційна діаграма, Дослідження універсальності в поведінці нелінійних систем

Мета: набуття теоретичних знань та практичних навичок дослідження поведінки нелінійних систем на основі біфуркаційною діаграми.

Хід роботи

Найпростішим прикладом нелінійної системи, що демонструє властивості цілого класу є логістичне відображення: , з яким детально ми ознайомилися в попередній лабораторній роботі.

Для того, щоб система проявляла поведінку, аналогічну поведінці логістичного відображення, достатньо щоб була можливість за допомогою різних перетворень звести рівняння, що описує поведінку цієї системи до функції, визначеної на [0,1] і що має в цьому проміжку квадратичний максимум ().

Теорія універсальності Фейгенбаума містить властивості ітерацій: при зміні параметра характер поведінки ітерацій змінюється способом, не залежним від конкретного виду функції, що ітерується зокрема у квадратичних відображень відбувається руйнування стійкого циклу і заміна його циклом з подвоєним періодом. Це подвоєння періоду продовжується до безкінечності, а потім виникає хаотична поведінка.

Послідовність  сходиться, її межа  причому , де  - константа, яка має числове значення , чим більше n, тим ближче  до .  - це універсальна постійна, одержала назву постійної Фейгенбаума.

Теорія універсальності стверджує, що якісно схожі ітерації мають кількісно схожу поведінку, що дозволяє одержувати точні кількісні прогнози, незалежно від виду відображення. Так, знаючи декілька перших значень параметра, при яких відбувається подвоєння періоду, можна передбачити всю решту значень параметрів подвоєння періоду, а також значення параметра , при якому відбувається перехід системи в хаотичний режим.

Розглянемо біфуркаційну діаграму.

Вертикальними відрізками на діаграмі позначені  – відстані від точки  до найближчої до неї точки на  циклі. Ці відстані підкоряються закону: , причому  – це друга константа Фейгенбаума.  характеризує відстань між точками в циклі. Це міра того, як змінюється стан системи за один крок. Чим більше n, тим ближче точки розташовуються один до одного.

Завдання 1. Перевірте універсальність на прикладі логістичного відображення. Відкрийте файл, в якому досліджувалась поведінка моделі логістичного відображення.

1) Знайдіть послідовність з n=20 послідовних значень . Переконайтесь, що ця послідовність наближається до значення першої сталої Фейгенбаума.

2) Обчисліть значення другої сталої Фейгенбаума .

3) Побудуйте біфуркацій ну діаграму за знайденими значеннями .